隱藏在生活中的數學 — 阿基米德螺旋

Jan 22, 2024

文/王宜蕙編/蔡昀諺

前言

從小我們就聽聞過許多有關阿基米德，這位幾何學之父從如何利用浮力原理判斷真假皇冠到利用槓桿原理的「給我一個支點我就可以舉起地球」的故事。但其實除了這些耳熟能詳的故事，他還有一個影響世界甚鉅的研究，也就是阿基米德螺旋，其不僅兼具實用與美麗，它的應用更是散布於各個領域，就讓我們來一探究竟吧。

阿基米德螺旋線

螺旋線常見於自然界當中，小有蝸牛殼、鸚鵡螺的生長螺紋，大至颱風、螺旋星系的螺旋結構。而阿基米德螺旋線則是眾多螺旋線的當中其一。其數學描述式為：

其中r為極座標中的半徑座標，θ為極座標中的角座標。由這個數學描述式當中我們可以發現隨著角度的上升，半徑也會跟著線性上升，因此阿基米德螺線又被稱為等速螺旋線，也因為他的每條螺紋間距2πb單位，所以又稱為等距螺旋。

然而阿基米德螺旋並不是等角螺旋，等角螺旋的數學描述式為：

等角螺旋的特點是任意一個通過圓心的直線，此直線和等角螺線交點的切線夾角會固定。歷史上還有一件關於阿基米德螺線及等角螺線的軼事，瑞士數學家雅各布·白努利，著迷於等角螺旋的特性，甚至要求將等角螺旋刻在自己的墓碑上，然而雕刻師卻誤刻了阿基米德螺旋線。

阿基米德等速螺旋在生活中的應用

阿基米德抽水機

在工程上最悠久的應用當屬阿基米德抽水機了。據傳，在古希臘時期，阿基米德在亞歷山大城求學時，一日看到有一群農民拿著木桶在提水，為的就是要灌溉地勢較高的農地。阿基米德開始思考如何讓水能夠從低處往高處流動，提升灌溉效率。於是阿基米德抽水機就在這樣的時代背景下誕生了，它的原理是藉由轉動螺旋葉片，將水一階一階的往上傳輸，角度越低傳輸越有效率。同時這個抽水機還能夠運輸黏稠、帶有顆粒、砂石的液體，非常適合用於尼羅河流域，加上結構簡單、製造成本低，在當時被廣泛地運用於農業灌溉。直到今天在許多工廠中仍然可以能看到阿基米德螺旋抽水機的身影。