淺談通訊系統中的Volterra等化器

Aug 18, 2024

文/ 滕彥宜編/ 張琬婷

想像你在山谷中喊叫一聲後，聲音會從山壁反彈回來。除了延遲之外，聲音亦容易變得混亂難以辨別 — — 這是由於聲音經過不同的傳播路徑後疊加在一起，進而導致訊號的失真。

等化器就像是一個過濾器，可以消除這些回聲，將原始的聲音盡量的還原。

在無線通訊或有線通訊中，訊號在傳輸過程中容易受到通訊通道的影響，如多徑效應、頻率選擇性衰落等，導致訊號失真。等化器（Equalizer）便是用於補償通訊通道效應的一種裝置或演算法 — — 其主要目的是消除或減少由於通訊通道特性引起的訊號失真和干擾，以改善接收端的訊號品質和可靠性。

等化器可以通過頻率響應（Frequency response）補償、多徑干擾消除和自適應調整來消除這些失真，使接收訊號的頻率響應更加平坦，從而減少干擾帶來的影響，以增強訊號品質並降低誤碼率。

IM-DD OFDM PON 系統簡介

在IM-DD OFDM PON系統中，訊號的清晰度和準確性至關重要。此一系統結合了光強度調制（IM-DD ， Intensity- Modulation Direct- Detection）、正交頻分多工（OFDM， Orthogonal Frequency Division Multiplexing）和無源光網路（PON， Passive Optical Network）技術，以期提供高效且可靠的光纖通訊解決方案。

發送端之OFDM訊號先依序通過串行到並行轉換、QAM符號編碼、IFFT、CP插入和DAC生成，接著驅動光強度調製器（Intensity Modulator），經由EDFA放大訊號後交由光纖傳輸。接收端則使用光檢測器進行直接檢測，先通過ADC進行類比訊號之轉換，交由數位訊號處理（DSP，Digital Signal Processing）演算法進行同步處理後，才是進到Volterra等化器，最終去除CP、FFT和QAM符號解碼等等過程才完成訊號的解調與優化。

Volterra 等化器的角色

Volterra等化器是非線性等化器的一種，並基於Volterra數列進行設計。Volterra數列是一種數學模型，用於描述非線性系統，可以捕捉系統中的記憶效應和多階非線性特性。

這使得Volterra等化器能夠有效地補償通訊通道中的非線性失真。特別是在高功率預算的OFDM PON系統中，光訊號在經過長距離光纖傳輸後，會產生嚴重的非線性失真。Volterra等化器通過補償這些線性和非線性失真，確保訊號的準確接收和解調，從而提高整個系統的可靠性和數據傳輸品質。

Volterra級數之數學概念

Volterra等化器的輸入輸出關係可以通過以下方程表示（圖二），y(n) 和 u(n) 分別是Volterra等化器的輸入和輸出數據，h是濾波器係數，e(n) 是建模誤差。我們可以將Volterra 級數與冪級數（圖三）做比較，單變量的冪級數形式為：

透過冪級數的展開式，我們可以將展開式的a與Volterra 級數中的濾波器係數h視為權重，可以看出冪級數的輸入變量只有一個，也就是(x-c)，輸出則為f(x)。

以Volterra 級數來說，冪級數都有輸入訊號相乘所導致的非線性的關係。受到記憶效應的影響，根據記憶長度（memory length，即N1，N2，N3，…）的不同，就會有相應數量的y(n-i)*y(n-j)*y(n-k)…的不同輸入。舉例來說，當記憶長度為3時，這意味著每個核函數y(n-i)都考慮了當前和前兩個時刻y(n-j)， y(n-k)的輸入訊號。

由以上數學式，我們得知將時間延遲考慮進入冪級數，就可以得到Volterra 級數。讓我們再看一個記憶長度為3（N1=N2）的二階Volterra 級數（圖四），展開的結果會是（圖五）：