淺談回授控制系統之模型與特性
文/高浚育 編/ 張琬婷
前言
航太工業、機器人、無人機已是一個發展許久的領域，隨著近年半導體的飛速發展，在性能更好的微控制器、控制IC的引入下，這類機械的響應變得更加快速，控制更加靈敏、精準。雖然上述應用的工作條件、操作方式和實際硬體都不盡相同，但核心技術都離不開一個概念：控制系統。生活中有許多應用控制系統的例子，舉凡飛行姿態控制、變壓器定電壓輸出、油門加速等。
本文中將初步地介紹控制理論的數學模型，以及影響一控制系統表現的重要特性參數。
狀態變數模型(State variable model)
多數系統在數學上會有微分方程的形式，為了寫成更廣泛的形式，基於狀態變數（state variable）表示的微分方程（differential equation）被提出用以描述系統以及輸出的變化。其中，系統狀態的變化 x_dot(t) 與系統輸出 y(t) 分別表示作：
其中，x 是狀態向量、y 是輸出向量、u 是輸入向量（或控制向量），A、B、C、D分別稱為狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和前饋(feedforward)矩陣，且 x_dot(t)= dx(t)/dt 。
此處僅考慮線性非時變系統(Linear Time-Invariant System, LTI system)，上述線性方程組中的A、B、C、D矩陣元素不因時間而變化。從上面列的方程組可以看到，系統狀態的變化量是當前狀態和輸入的線性組合，系統的輸出也是當前系統狀態和輸入的另一組線性組合。
若單純從時域上分析，難以給定相互獨立的系統狀態。而若先藉由拉普拉斯轉換(Laplace Transform) 作投影，可透過各個正交的基(basis, 或也可以理解成向量)來將原方程式轉換成另一簡單表達式，如此便能輕易分離出數個線性獨立的分量（系統狀態）。其數學方程式可表達為：
其中[sI — A] 此項是不是很熟悉？它便是線性代數中常看到求解特徵值時會看到的形式[A-lamda*I] ，這些特徵值就是系統的獨特變數，又稱作極點(pole)。同時，我們可以將狀態變數轉換成多項式型式的系統轉移函數(transfer function)，利用訊號與系統的概念進行處理。
開迴路與閉迴路系統
前一章節中我們提到如何用狀態變數來描述系統，接著我們將介紹為何會需要控制系統以及如何實現系統。其中，一個典型的開迴路(open-loop)系統可以畫成一簡潔明瞭的系統示意圖：
R(s) 是參考輸入、T_d(s) 是系統擾動雜訊(disturbance)、Y(s) 是輸出訊號，而 G(s) 是執行器(actuator)，可將前方的各種輸入經過相應的轉換後輸出。如果沒有經過任何處理，擾動會直接和輸入耦合，進而直接影響到輸出，因此我們會在其中加入控制器 G_c(s) 來隔離兩個部分：
然而即便加入了控制器，輸入仍會直接抵達輸出端，從而缺乏了回饋調整的機制。因此，為了使系統可以自動回饋校正，將輸出接至輸入端進行訊號的相減，並以得到的誤差訊號 E(s) 輸入控制器來調整執行器(actuator)。而此一新的系統形式因為加入回饋路徑而有了封閉的迴路，故稱為一閉迴路(closed-loop)系統：
閉迴路控制系統因為新增了回授的路徑以及比較器的緣故，以致系統的複雜度和成本皆會上升，但亦會帶來多個顯著優勢：
1. 減少系統對於執行器參數老化或參數變化之敏感度
2. 提升對擾動雜訊的抵抗能力
3. 加快雜訊的衰減
4. 減少穩態誤差(steady-state error)
5. 簡易輸入和快速的暫態響應(transient response)
敏感度(sensitivity)對於一系統來說是一個重要指標，用來衡量系統對擾動或雜訊的抵抗能力。我們將敏感度定義為系統轉移函數與執行器函數變化的比值，其中閉迴路系統的轉移函數為：
敏感度定義為：
將系統的轉移函數帶入後我們可以得到：
根據化簡後的結果，即便執行器老化或產生不同的變化，我們可以透過設計良好的控制器 G_c(s) 將敏感度計算的分母變大，以降低一閉迴路系統的敏感度。
暫態響應與穩態誤差
回授系統有數個性能參數可供參考調整，來設計出最合適的控制器。例如，隨著輸入的變化，暫態響應會隨著時間拉長而逐漸弭平，而穩態誤差則是當時間拉長時會穩定存在。因此在設計控制器時，需要考慮輸入訊號的種類，最常見也最簡單的三個分別是步階(step)、斜坡(ramp)、拋物線(parabolic)，而他們的拉普拉斯轉換為A/S, A/S², 2A/S³。除了這三個訊號類別，脈衝(impulse)也是一個常見的輸入訊號，因為脈衝中包含所有頻率的分量，同時也能在時域上有非常快的變化，可用以評估系統的暫態響應。
前面提到的誤差函數和輸入函數可以寫成：
因為穩態誤差是長時間後產生的，在時域上我們可以利用t趨近無窮的極限來近似，其對應在s-domain上的方程式為：
先以步階輸入 R(s) = A/s 當作例子，方程組可以寫成：
此時穩態誤差 e_ss 會和控制器和致動方塊的零點、極點有關，因此我們可以定義：
故穩態誤差 e_ss 可以進一步寫成：
當 G_c(s)G(s) 的階數（微分次數、1/s的次方數）和輸入訊號的階數相同，則會產生穩態誤差；當 G_c(s)G(s) 階數較大，則不存在穩態誤差；當 G_c(s)G(s) 階數較小，則控制器會追不上輸入訊號的變化，隨著時間累積而逐漸趨向無窮。階數的增加會導致系統複雜度、成本和延遲上升。因此，了解所需的系統規格，並在成本內謹慎設計符合需求的控制系統是相當重要的一環。
暫態響應亦為系統性能的另一重要參考指標。一般而言，會希望一控制系統能夠快速地到達理想的輸出值，因此初始的誤差函數會讓輸出瞬間增大，甚至超過設定的輸出範圍。這類響應稱為過衝(overshoot)，過大的幅度可能會導致系統損壞或產生來回震盪的情況；但若為了消除過衝，而調整控制器修正的幅度，又可能使響應速度降低 — — 因此要如何在這兩個之間找到平衡點，是一門重要的研究議題。
結語
本文裡大致介紹了控制系統的實現以及其數學模型，並針對回授系統的特性和與性能參數進行了重點整理。但因受限於篇幅的限制，並未延伸至PID (Proportional–Integral–Derivative) 控制器的設計和分析。但若利用相似的數學分析概念，亦將能夠輕鬆理解PID控制器的工作原理。此外，本篇文章目前提到的僅止於線性系統，因此其他非典型控制輸入、需要快速響應的非線性系統會需要特殊設計的控制系統來完成需求，但複雜度和成本也因此可能大幅增加。此外，控制系統的概念可以拓展至許多工程領域，任何牽涉狀態轉換、輸入輸出的情景都能使用系統轉移函數、狀態變數的型式描述並求解，同時為因應不同的使用場景，亦需要調整合適的控制器設計。
資料來源
[1] 狀態變數 https://en.wikipedia.org/wiki/State_variable
[2] Modern Control Systems, 13/e (GE-Paperback) ISBN-13: 9781292152974
