拓樸材料
文/麥家銘
什麼是拓樸？
拓樸學或拓樸(Topology)是數學研究上的一個分支，主要研究幾何學與集合論中有關空間、維度與變換等觀念。拓樸學這個名詞雖然在19世紀才被德國數學家利斯廷(J. B. Listing)所提出，最早的有關拓樸學的研究卻可以追溯至17世紀由著名瑞士數學家歐拉(L. P. Euler)所提出的的柯尼斯堡七橋問題。
柯尼斯堡七橋問題（Seven Bridges of Königsberg）敘述在當時東普魯士柯尼斯堡(今日俄羅斯加里寧格勒)的城市規劃中，一條普列戈利亞河將城市切割成許多區域，在這些區域之間當地人修築了一共七條橋梁用以溝通連接(如下圖一)。那麼如果在所有橋都只能走一遍的情形下，有沒有可能能把所有的橋都走過一次且不重複？這個問題後來首先由歐拉本人在1736年證明符合條件的走法並不存在。此後這類問題被歸類為一筆畫問題，即判斷一個封閉圖形能否將所有的邊走過一遍並不重複。
經歷幾個世紀的發展，20世紀數學界開始有了拓樸空間的概念，並成為數學界的一大研究分支。一個著名且有趣的範例可以說明拓樸學的研究範疇：在拓樸學中，一個咖啡杯與甜甜圈因為其中一者不需要經過空間的切割或是黏合就可以變形成另一個，兩個空間在拓樸學上可以視為等價。
什麼是拓樸材料？
拓樸材料(Topological materials)又稱拓樸絕緣體（Topological Insulator），是一種表面允許自由電子流動，而內部則為絕緣體的材料。因為該種材料在表面的一些特殊量子態遵守拓樸特性，並且這些量子態因為存在於塊體能帶結構的帶隙當中，使得拓樸材料能夠在表面形成導電的拓樸保護層，且這些量子態的自旋狀態不易受到外在而改變。下圖為拓樸材料的能帶結構示意圖。
拓樸材料可根據其表面量子態的拓樸特性之不同進一步細分為二維拓樸材料以及三維拓樸材料。其中二維拓樸材料又可稱為量子自旋霍爾絕緣體，並首先於2007年在碲化鎘(Cadmium Telluride, CdTe)與碲化汞(Mercury Telluride, HgTe)所構成的量子井結構中被發現；三維拓樸材料則在同年於硒化鉍(Bismuth Selenide)中被發現，並之後由不同研究組在銻化鉍、碲化鉍、銻等材料中所發現。
拓樸材料的應用
由於拓樸材料的特性，其材料表面的量子自旋態對於環境有相當好的抵抗性。這種特性使得科學家得以運用這些電子的自旋形式來表示邏輯電路中的0和1位元，且該種方式可以達到高速且低耗能的邏輯變換速度，進一步為下一代的高速運算元件鋪路。
參考資料：
1. https://www.cpfs.mpg.de/shekhar
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_insulator#cite_note-:1-10
3. https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=5&index_id=238
4. https://scitechvista.nat.gov.tw/Article/C000003/detail?ID=db31219e-f000-4ecf-aec5-6c027dae95ec
5. https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=5&index_id=235
6. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%93%E6%89%91%E5%AD%A6
