實變真的要讀十遍？！十分鐘帶你了解測度論
文/ 黃昱心
編/ 謝明翰
一、前言
你有沒有好奇過數學系都在學些什麼呢？大家都說數學系很恐怖，被二一退學的很多，是真的那麼可怕嗎？如果你曾經好奇，那麼這篇文章會帶你揭開數學系神秘的面紗！
測度論是屬於實變領域，是在數學當中的分析領域，實變就是實分析 — 顧名思義就是在分析實數空間中的性質（實數與複數空間的差異頗大，所以還有另一個複變領域）。其實基礎的實分析大家都學過，就是大一學的微積分，再進階一點就是數學系的大家口中抱怨的高等微積分，到了研究所就會進入實變函數論，所以這篇簡直是帶各位越級打怪！但是沒關係，我會盡力用淺顯易懂的方式解釋。
首先，會有測度論的發展，是因為為了要拓展黎曼積分而開始的。如圖一、(左)所示，黎曼積分是從實軸去分割區間，把分成很多長方形區間來積分，然後在區間中任取一個tk當作長方形的高f(tk)，不過這樣會遇到一個問題：如果在一個區間內f(tk)差很多，這個積分值可能會受到tk取值的影響，故我們說這個函數黎曼不可積。
如果我們不要從實軸去分割，而是從函數值分割區間呢？就像圖片一、(右)所看到的，對a這個點去切，蒐集所有函數大於a的集合Ea={x |f(x)>a}，所以塗色面積就會是a|Ea|，|Ea|就是我們要去算的集合長度的概念，也可以稱之為測度，因此測度論就展開了。
在這篇文章中，會介紹基本的「集合概念」，以及「測度的定義」，最後會提及「Lebesgue積分」。經過閱讀這篇文章，你可以對數學系在學什麼有更深的認識（當然這只是數學的其中一個領域）。如果你有興趣，也可以考慮加入數學系的一份子！
二、集合介紹
在正式進入測度以前，要先簡單介紹在數學中重要的集合概念。集合顧名思義就是集合了一些元素，在數學中，集合還能分成可數集跟不可數集，意思就是這個集合中的元素能不能用數的，可數集又可以分成有限集與無限集（對你沒看錯，無限集也可以是可數的）。例如，有理數集合為可數集和無限集，無理數集合為不可數集。
當我們把集合的概念放入空間概念中（例如R的N次方空間），就可以定義開集(open)與閉集(closed)。在R的N次方中，開集的定義為：
「給任意一個屬於集合A的元素a，可以找到一個足夠微小的值ε(>0)，從a延伸出去在距離ε處畫一個圈，如果圈內所有點都落在集合A裡面，則我們稱此集合A為開集合（如下圖二所示）」。
相反的，若一個集合B的補集是開集合，則B為閉集合。所以我們也可以這樣想，當我們畫一個集合的邊界是虛線時，這個集合八成是開集合；如果有實線邊界，就會是閉集。雖然這樣想不夠嚴謹，但是比較好理解。
開集合有一些性質是必須知道的，比如說：一些（不限多少個）開集合的連集還是開集合，但有限個開集合的交集才會是開集合。相反的，在閉集合方面，根據狄摩根定律（De Morgan law）可以證得，一些（不限多少個）閉集合的交集是閉集合，有限個閉集合的連集還是閉集合。
開集合與閉集合還有很多性質，但那些都屬於高等微積分的內容，在這裡並不會細講。不過還是有兩個重要的集合在之後會提到 — Gδ和 Fσ，Gδ是一些可數個開集合的交集，而Fσ是可數個閉集合的連集。這兩個集合都不會保證是開集或閉集，因為他們不一定有是由有限個集合組成，但開集一定是由某種Gδ，且閉集一定是某種Fσ。看到這裡是不是快暈倒了呢？沒關係，後面看到這些再回來複習就好。
二、外側度
測度（measure）直觀理解上是用來量測一個集合的大小。例如，在一維的實數空間中，測度就是指集合的長度；在二維平面中，測度可以想成集合的面積，以此類推，三維空間中測度就有種體積的意義。當然，我們探討的空間可以到n維，所以必須要給測度一個更明確的定義。
不過，不是每個集合都是可以測量的（之後會提到不可測量的集合），所以在定義測度之前，要先定義了外測度(outer measure)，而這個外測度是對於所有集合都有的，就像有些函數無法做黎曼積分時，會使用上積分跟下積分來定義他的範圍的概念一樣。外測度的定義如下：
定義的意思為，對於集合E，可以被一些可數個區間Ik蓋住（covering），把這些區間蒐集成集合S（不同的covering就會有不同的S），而外測度就是指這些Ik體積總和的最大下界（就是最小可以到多小的意思），如圖三所示。也就是說，我們可以把外測度想成是在集合外面包了包裝紙，然後外測度是算包裝紙的大小，且盡量讓包裝越小越好。
在定義了外測度之後，有一些定理跟性質是值得一提的。比如，如果集合E可以寫成可數個Ek的連集，那麼E的外測度會小於等於所有Ek外測度的總和，這應該是一個很直觀的定理（由廣義三角不等式）。
如果集合中只有單點(例：Ek ={ p } )，由外測度的定義可以很直觀地知道，包覆住單點的外包裝的大小可以一直縮小，所以單點的外測度是0。所以依照上面所提的定理，如果E為有理數集，則他的外測度也會是0，因為有理數集是由可數個單點所組成，把每個Ek當成有理數單點，所有Ek外測度的總和為0，所以E的外測度≤0且外測度不會是負數（僅限在此所介紹的），有理數集的外測度是0。
三、可測集、測度0
在了解外測度的定義之後，就可以真正的進入測度了。測度的定義一定要跟外測度有關，如果無關，那他們就會具有不同的意義。直接來說，如果一個集合是可測的，那麽就定義外測度就等於測度值。重點是，我們就是不知道怎麼樣的集合叫可測集呀？但如果我們目的是要讓可測集的外測度等於測度值，就要像我們剛剛所比喻的，集合的外包裝要越緊貼集合越好，也就是集合跟外包裝要幾乎沒有空隙才行。
帶著這樣的想法，我們就可以更透徹的理解可測集的定義（定義(1)）。如果我們說一個集合E是可測的，那麽對於任意小的正數ε，可以找到包含E的開集合G（外包裝），然後G扣掉E的外測度要小於ε，就如圖四、(左)所示，灰色集合要很小的意思。
其實可測集也有一個等價的定義（定義(2)）。想像一個集合也需要內包裝，那麼也是希望內包裝能夠跟集合越貼近好，所以另一個等價的定義如下：如果集合E是可測的，那麽對於任意小的正數ε，可以找到一個比E小的閉集合F（內包裝），然後E扣掉F的外測度要小於ε，就如圖四、(右)所示，藍色集合要很小的意思。
知道測度定義之後，就可以知道哪些集合是可測的。例如，開集合、閉集合、可數個可測集的連集或交集、可測集的補集⋯等（這些都可以證明），值得一提的是外測度0的集合也是可測集。這些外測度為0的可測集，因為定義外測度等於測度，所以我們也可以說他們是測度0或0測度(measure zero)。測度0在直觀上代表著那些不佔體積的集合。在一維實數空間中，測度0可以是單點，或是可數個單點；在二維空間中，直線是測度0；所以類推，在n維實數空間中，能用n-1維表示的集合都可以是測度0。
在知道測度0的概念之後，我們也可以將剛剛測度的定義改寫：「對於定義(1)，我們也可以說如果集合E 可以寫成一種Gδ（前面提過這個集合開集的交集但不一定是開集）減去一個0測度集合，Ｅ就是可測集；對於定義(2)則是相反，如果集合E 寫成一種Fσ（閉集的連集）連集一個0測度集合，Ｅ也是可測集。」
四、不可測集
上一段落說了，很多集合都是可測集，那值得疑問的是，真的有不可測集存在嗎？
義大利數學家維塔利(Vitali)就證明出存在不可測集合(non-measurable set)。在尋找的過程中，用了選擇公設跟一個定理。首先，他先定義了「一個集合Ex為蒐集所有與x的距離是有理數的點」，Ey為相同定義，則Ex、Ey兩集合不是全等就是不相交的集合。如果他們兩有交於至少一個點，令此點為x1，依照集合定義，x點距離x1、y點距離x1都是有理數，所以x-y也是有理數，所以y會在Ex中，故Ex、Ey兩集合會全等，如圖五所示。
再來，如果Ex中有包含一個有理數，則此集合就會是有理數集（已知有理數加有理數會是有理數）；不過如果Ex中有包含一個無理數，則此集合所有元素都會是無理數，但不會等於全部的無理數集。所以實數軸上可以被分成一個有理數集Ex和其他的一些（此一些為不可數個）集合Ey們（其元素為無理數），對於這些集合，我們定義一個新的集合G為從Ex和每個Ey 集合中挑出一個元素（這裡用了選擇公設），挑出的這些元素兩兩都相差無理數（相差有理數的會放在同一個集合，故不會同時被挑出）。
最後，依據定理所說 (下方)：
「如果E為可測集，則在E中兩兩元素相減的值蒐集而成的集合會包含一整段區間」。
但是我們的新集合G中元素兩兩相差是無理數，不可能包含一段區間，所以回推的話可以說新集合G不是測度0就是不可測，就推出 G為不可測集（因為G不可能測度0）。講了那麼多，終於把一個不可測集的一個例子舉出來了，你可能會覺得，明明一樣都是單點組成，為什麼有理數集是可測集，這個不是呢？要注意的是，集合G跟有理數集的差別就是他不是可數集，所以這裡無法用之前證有理數集是可測的方法來說明。
五、可測函數與幾乎處處
我們在上面定義了可測集，那能不能定義在函數上呢？所以數學家又定義了另一個名詞：可測函數。定義為，若函數f被定義在可測集E上，則對於有限的任意數a，{f ≥ a} 、{f < a}、 {f ≤ a} 這三個集合要是可測的，則稱f是一個可測函數。
當然，可測函數可以是很醜的，我們早已經跳脫了微積分在講得連續之類的完美函數的性質，可測函數可以有很多不連續點。但如果函數長得很醜，我們要怎麼進一步討論函數的性質呢？如果一個函數只有在一些點長得很醜，那我們能不能只專注在比較好看的點上面呢（瑕不掩瑜的概念）？所以這時候要介紹「幾乎處處(almost everywhere)」的概念。幾乎處處可以被簡寫為「a.e.」，代表
「如果一個性質幾乎在集合內都符合，只有零星的點不符合（不符合的點蒐集起來的集合測度要是0），那我們就可以說某性質在這個集合裡幾乎處處符合」。
例如，f 在E集合中幾乎處處連續，那就代表說還是有不連續的點，但那些點對於整個集合來說根本不具有影響力(如圖六)。
舉個定理來當做例子說明幾乎處處的用處，有一個定理說：
「如果f是可測函數且幾乎處處g=f，則g也是可測且|{g>a}| = |{f>a}|」。
這個定理告訴我們，只要兩個函數大部分一樣，不要管那些零星的點了，g函數也會有f函數的一些性質。幾乎處處這個概念也讓我們在討論函數上可以不受那些局部的點影響，可以說綜觀全局忽略一些細節的概念吧！
六、Lebesgue 積分 vs Riemann 積分
介紹了這麼多，終於到我們這篇的重點：Lebesgue 積分。Lebesgue 積分的發展是為了要解決黎曼積分受到的限制。當一個函數不連續點夠多時，黎曼積分可能不存在，以下舉個例子來具體解釋黎曼積分的限制。
令Dirichlet 函數為：
此函數大家在微積分應該都略有所聞，是一個處處不連續的函數。當我們定義這個函數在[0,1]區間裡，在這個區間做黎曼積分的話是不可積的。因為根據黎曼積分的定義：
這定義的意思就是，在[0,1]區間中分割成很多區間，在每個分割出來的區間取任意一點tk，則不管tk怎麼取極限值都要相等，才能說這是黎曼可積。但是當我們討論這個函數，在區間[x(k-1),xk]取任意一點tk可以是有理數也可以是無理數。若tk都是有理數，則f(tk)=1，極限值就是1；若tk都是無理數，則f(tk)=0，極限值就是0，兩極限不相等，故Dirichlet 函數黎曼不可積。
但是數學家不想受限於這樣的困境，為了突破則對黎慢積分做了推廣，其中我們最主要要介紹的，也是測度論發展的原因 — Lebesgue 積分。Lebesgue 積分定義如下：
R(f,E)的意思是蒐集f函數以下的所有點當作這個集合，所以如果定義x在一維空間的話，那就是蒐集f函數與x軸中間的面積，其實跟一般積分的意思差不多，只是這邊用測度來表示而已( |．|n+1 是在R^(n+1)裡取測度的意思)。在這個定義之下，假設f是非負函數且定義在可測集合E，此時有另一個定理說，如果f是可測函數的話，則f在E上為Lebesgue可積。
現在知道了Lebesgue可積的定義，就可以知道黎曼積分跟Lebesgue 積分差在哪裡了。還是以Dirichlet 函數為例，如果要對Dirichlet 函數做 Lebesgue 積分，則會運用到以下這個定理：
令g=0在[0,1]區間上，又根據我們有提過有理數集合是0測度，所以f≠g 的點其實是0測度（f只在有理數點上不等於0），所以幾乎處處f=g。依據這個定理，此時Dirichlet 函數為Lebesgue可積，且f的Lebesgue 積分=g的Lebesgue 積分=0。由此可見Lebesgue成功的把黎曼積分的限制推廣出去了。
七、結語
其實這些只是測度論的皮毛，有很多都跳過沒講，後面也還有很多還沒講，寫出來的可以算是冰山一角吧。經過閱讀這篇文章，大家應該對測度論有一些基本的認識了吧！希望大家能更了解為什麼會有測度論的發展，還有其實積分分成很多種！
感謝看到這裡的各位，希望你們還看得懂並且還沒睡著。其實數學就是這樣，光看定義會覺得枯燥乏味甚至看不下去，但如果可以對一個定義有從不同觀點的看法，把容易理解的事情帶入解釋，這樣數學也會變得比較平易近人！當你們讀完這篇之後，也可以去跟數學系的人炫耀你們知道測度論是什麼了（這算是研究所範圍，所以一般數學系大學生不會知道XD）！
Reference:
1. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (By Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund)
2. 清大實變函數論https://www.youtube.com/playlist?list=PLU8jp4JTwaOhdN6kNgddyfBa34RAFSnAD
