古典量子力學: 一維盒中質點本徵波函數表示式推導
文\謝昇龍 編\蔡昀諺
前言
在古典力學中，要了解粒子在一個無限位能井(infinite potential well)裡的運動模式可以用牛頓定律來描述。粒子與井壁的碰撞可視為彈性碰撞，粒子的動能維持不變，速率固定，在任意時刻下觀察者在位能井內各個位置發現粒子的機率是相等的。然而實驗的結果與理論不符，原因是牛頓力學只能描述巨觀下以遠低於光速運動的物體之運動模式，在沒有相對論效應下微觀的粒子行為需要使用量子力學中的波函數來描述粒子的狀態。
盒中質點模型(The Particle in a Box as a Model)
假設一個質量為m的粒子在長度為L的一維空間中自由移動，且粒子在邊界(x = 0 & x = L)的位能是無限大可以當成無法穿透的牆壁，在x = 0 ~ L之間位能為零。示意圖如下。
薛丁格方程式(Schrodinger Equation)由奧地利物理學家薛丁格(Erwin Schrodinger)在1926年，由物質波的假設出發，利用古典力學推導一組物質波的波動方程式，公式如下:
若給定粒子在空間的位能分布，藉由薛丁格方程式可以求解粒子的本徵波函數。下個部分就會說明求解的過程與結果分析。
求解一維盒中質點的本徵波函數
由於粒子位能在x = 0與x = L之間為零，原式可改寫成:
其中h bar
ℏ是約化普朗克常數是h/2(pi)，h是普朗克常數，大小約為6.626x10^-34 （焦耳*秒）。求解二階微分方程式。
STEP1: 將所有非零項移到等號左邊
STEP2: 求解Sturn-Liouville problem
根據邊界條件的形式可以知道此題的B.C.（boundary condition）是Regular
B.C.
接下來就利用在常微分方程所學的方法來求解:
STEP3: 將求解出來的特徵波函數代入邊界條件(B.C.)
STEP4: 求解未定係數C2
STEP5: 特徵波函數型式
結論
根據波函數計算的結果，物理學家發現粒子的能量是離散的，並且在空間中任意位置出現的機率是不均勻的，以及粒子的最低能量不為零，科學家進一步將此方程推演到三維空間，就是類氫原子模型(Hydrogen-like atom)了，這個數學模型可以很好的描述單電子原子的電子行為，也就是在化學領域中常聽到的軌域(atomic orbital)問題。希望這篇文章可以幫助到修習普通化學的同學。在量子力學的單元，教科書通常沒有詳細的推導過程，以”用猜的”三字略過完整的計算過程，事實上不是用猜的，數學問題的計算過程都有前因後果，因此撰寫這篇文章幫大家解惑。
參考資料
[1] 波函數示意圖(https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%84%A1%E9%99%90%E6%B7%B1%E6%96%B9%E5%BD%A2%E9%98%B1)
[2] 粒子出現機率分布圖(https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%84%A1%E9%99%90%E6%B7%B1%E6%96%B9%E5%BD%A2%E9%98%B1)
